题目

给定两个以字符串形式表示的非负整数 num1 和 num2，返回 num1 和 num2 的乘积，它们的乘积也表示为字符串形式。

示例 1:

1 2	输入: num1 = "2", num2 = "3" 输出: "6"

示例 2:

1 2	输入: num1 = "123", num2 = "456" 输出: "56088"

说明：

num1 和 num2 的长度小于110。
num1 和 num2 只包含数字 0-9。
num1 和 num2 均不以零开头，除非是数字 0 本身。
不能使用任何标准库的大数类型（比如 BigInteger）或直接将输入转换为整数来处理。

分析

两数相乘，假设A有n1位，B有n2位，则乘积结果为n1+n2-1位（最高位无进位）或n1+n2位（最高位有进位），即相乘的结果最多有n1+n2位。

以123与45相乘为例，计算过程实际为错位相乘相加，第2个数的每一位依次与第1个数的每一位错位相乘，再将相乘的结果相加，编程实现就是使用两层for循环，这里使用一个数组来存放最终的字符串形式的结果，在for循环的每一次计算中，都会更新结果数组中的两位，一位是当前计算位，它是某两位置相乘加上本位之前的结果再对10取余，另一位是该结果的进位制，累加到前一位，用于下次计算。

    1 2 3 
 X    4 5
----------
      1 5 → 0 0 0 1 5
    1 0   → 0 0 1 1 5
  0 5     → 0 0 6 1 5
  --------
    1 2   → 0 0 7 3 5
  0 8     → 0 1 5 3 5
0 4       → 0 5 5 1 5
----------
0 5 5 3 5
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
0 1 2 3 4 ← index

C++实现

class Solution 
{
public:
    string multiply(string num1, string num2) 
    {
        int n1=num1.size();// c++中的size()和length()没有区别，length()是C语言保留下来的
        int n2=num2.size();
        // A的位数为n1，B的位数为n2，则乘积结果为n1+n2-1位（最高位无进位）或n1+n2位（最高位有进位）
        string res(n1+n2,'0');

        // 从低位开始相乘
        for(int i=n2-1;i>=0;i--)
        {
            for(int j=n1-1;j>=0;j--)
            {
                int temp=(res[i+j+1]-'0')+(num1[j]-'0')*(num2[i]-'0');// 上次该位的结果+两数相乘的结果
                res[i+j+1]=temp%10+'0';// 当前位赋值（需加'0'）（该位最终结果或用于下次计算）
                res[i+j]+=temp/10; // 将进位值累加到前一位，res[i+j]已经初始化为'0'，只需直接加上int类型
            }
        }
        
        // 去除首位'0'
        for(int i=0;i<n1+n2;i++)
        {
            if(res[i]!='0')
                return res.substr(i);
        }
        
        return "0";     
    }
};